テレビ本体だけで、ケーブルテレビの録画はできますか？

ケーブルテレビの契約をしている状態で、テレビの本体だけで(あるいはUSBタイプの外付ハードディスクのみを取り付けた場合)録画する場合、どのチャンネルを録画したいか、によって話が変わります。

一番問題が少ない(ほとんどない)のは地上デジタル(地デジ)放送です。地デジチューナーは、市販のテレビ・録画機器にはほぼ搭載されているからです。さらに、ケーブルテレビ局の多くは、地デジの信号をパススルー方式(テレビのアンテナで受信するのと同じ)で送信しています。これならテレビアンテナを立てて受信するのとなんら変わらず、特に問題はありません。

つまり、

テレビが地デジチューナーを内蔵している
テレビ本体、もしくはUSB接続のハードディスクに地デジ録画が可能な機種である
ケーブルテレビ局から地デジ信号がパススルー方式で送られている

この条件をすべて満たせば、地デジの録画は問題なくできるはずです。

続いてBS放送です。

パラボラアンテナをご自身で設置している場合は別として（問題ないので）、ケーブルテレビのみの場合について考えます。

ケーブルテレビ局からのBS信号は、局や契約によって2パターン考えられます。最も多いのはデジタルSTB(専用の外付けチューナー)を取り付けて視聴しているパターン、そしてFTTH(光テレビ)で直接BS信号が送られているパターンです。

前者の場合、周波数がケーブルテレビで伝送できるチャンネル・方式に変換されて送られているため、残念ながらSTBを使わない限り録画どころか視聴もできません。

後者の場合、BS信号はパラボラアンテナと同じ状態で送られてきていますので、テレビのBS入力端子に同軸ケーブルを挿すと視聴・録画ともに可能となります。但し、以下の点に注意が必要です。

アンテナに電気を送る機能は必ずOFF(切)にすること。
通常、パラボラアンテナを設置する場合は、パラボラアンテナについているコンバータ(周波数変換器)を動かすために電気が必要となります。そのため、テレビ側からアンテナ側へ電気を逆流(テレビ信号の流れに対して)させています。
ケーブルテレビの場合はその必要はなく、逆に電気を流すことで不具合や故障の原因となりますので、必ず切っておきましょう。集合住宅の場合も同様です(最悪の場合ブースターが故障する可能性があります)。
アンテナ端子に接続する前に分波器が必要です。
テレビの同軸ケーブル1本の中に、地デジとBSの信号が混ざって届いているはずです。そのため、これを地デジ端子、BS/CS端子に分けて接続するために、「分波器」と呼ばれる二股に同軸ケーブルが繋がった部品を購入してください。

★分波器の例：